Arithmetic duality theorems

Détails du livre

Titre	Arithmetic Duality Theorems
Auteur(s)	J.S. Milne
Éditeur	BookSurge Publishing
Année de publication	2006
Édition	2ème édition
Langue	Anglais
Pages	339 pages
ISBN	9781419642746
Domaine	Mathématiques, Théorie des nombres, Géométrie arithmétique
Taille du fichier	1.52 MB
Extension	PDF

Résumé du livre

L'ouvrage "Arithmetic Duality Theorems" de J.S. Milne est une référence fondamentale en mathématiques, particulièrement en théorie des nombres et en géométrie arithmétique. La deuxième édition, publiée en 2006 par BookSurge Publishing, comble une lacune importante dans la littérature mathématique en offrant pour la première fois une démonstration complète et systématique des théorèmes de dualité arithmétique [citation:5]. Ces théorèmes, initialement découverts par Tate et Poitou dans les années 1950-1960, ont acquis une importance capitale, notamment dans la preuve du célèbre dernier théorème de Fermat [citation:4].

Le livre couvre un large spectre de sujets mathématiques avancés. Il traite des théorèmes de dualité en cohomologie de Galois, en cohomologie étale et en cohomologie plate, pour les corps locaux et globaux, ainsi que pour les anneaux d'entiers correspondants [citation:3]. L'auteur explore également des concepts fondamentaux tels que la dimension cohomologique, les propriétés de finitude et les caractéristiques d'Euler-Poincaré. La structure de l'ouvrage est rigoureuse, avec chaque chapitre commençant par un résumé de son contenu et chaque section se terminant par une liste de ses sources .

L'approche de Milne est à la fois exhaustive et pédagogique. Comme le souligne une critique de Zentralblatt MATH, une grande partie des travaux de Tate, Artin, Verdier et d'autres n'avait jamais été publiée en détail, et l'objectif principal de ce livre est d'offrir un traitement autonome et systématique de ces développements [citation:4]. La deuxième édition corrige plusieurs erreurs, améliore l'exposition et ajoute des notes de bas de page pour intégrer les développements survenus au cours des deux décennies précédentes, notamment les travaux sur la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer et les modèles de Néron [citation:3].

Ce livre s'adresse principalement à un public de mathématiciens chercheurs et d'étudiants de troisième cycle en mathématiques, spécialisés en théorie des nombres, en géométrie arithmétique ou en algèbre. Il présuppose une solide connaissance de l'algèbre commutative, de la théorie de Galois et de la géométrie algébrique. La lecture de cet ouvrage exige une maturité mathématique certaine, mais il constitue une ressource inestimable pour ceux qui cherchent à approfondir ces domaines. Les critiques de Mathematical Reviews et de Zentralblatt MATH le recommandent comme une excellente référence générale sur le sujet [citation:3][citation:5].

La valeur de cet ouvrage est rehaussée par l'expertise de son auteur, J.S. Milne, un mathématicien néo-zélandais reconnu pour ses travaux en géométrie arithmétique. Il est notamment l'auteur de livres de référence sur la cohomologie étale et les courbes elliptiques [citation:9][citation:12]. La publication de cette deuxième édition, près de vingt ans après la première, témoigne de l'importance durable de ce sujet et de la pertinence continue de ce travail. Ce livre demeure une source incontournable pour quiconque s'intéresse aux fondements de la dualité arithmétique.

Points clés

• Présente pour la première fois une démonstration complète des théorèmes de dualité arithmétique.
• Couvre la cohomologie de Galois, la cohomologie étale et la cohomologie plate.
• Traite des corps locaux et globaux, ainsi que de leurs anneaux d'entiers.
• Inclut des résultats sur la dimension cohomologique, la finitude et les caractéristiques d'Euler-Poincaré.
• A été mis à jour pour intégrer les développements survenus depuis la première édition de 1986.
• Est reconnu par les critiques comme une référence générale excellente sur le sujet.
• Rédigé par J.S. Milne, un expert reconnu en géométrie arithmétique.
• Constitue une ressource essentielle pour les chercheurs en théorie des nombres.
• Offre un traitement autonome et systématique de sujets complexes.
• Comprend une bibliographie et des index détaillés pour faciliter la recherche.

À propos de l'auteur

J.S. Milne, de son nom complet James Stuart Milne, est un mathématicien néo-zélandais né en 1942. Il est reconnu internationalement pour ses contributions à la géométrie arithmétique et à la théorie des nombres [citation:4]. Il a obtenu son doctorat à l'Université Harvard sous la direction de John Tate, une figure majeure de la théorie des nombres. Sa carrière académique l'a conduit à occuper des postes de recherche et d'enseignement dans plusieurs institutions prestigieuses, notamment à l'Université du Michigan et à l'Institut des Hautes Études Scientifiques (IHES) en France.

Milne est l'auteur de plusieurs ouvrages de référence qui font autorité dans le domaine des mathématiques. Son livre "Étale Cohomology", publié par Princeton University Press, est considéré comme un texte fondamental sur le sujet [citation:9]. Il a également écrit "Algebraic Groups: The Theory of Group Schemes of Finite Type over a Field" et "Elliptic Curves", tous deux publiés par Cambridge University Press [citation:9][citation:12]. Ses recherches ont porté sur la cohomologie de Galois, les variétés abéliennes, les formes automorphes et la théorie de Hodge. Il est également connu pour avoir maintenu et mis à jour son ouvrage "Arithmetic Duality Theorems" au fil des années, publiant des addenda et errata pour corriger et améliorer continuellement son travail [citation:13].

Livres connexes

• Étale Cohomology — James S. Milne
• Elliptic Curves — James S. Milne
• Algebraic Groups: The Theory of Group Schemes of Finite Type over a Field — J.S. Milne
• Cohomology of Number Fields — Jürgen Neukirch, Alexander Schmidt, Kay Wingberg
• Galois Cohomology — Jean-Pierre Serre
• Néron Models — Siegfried Bosch, Werner Lütkebohmert, Michel Raynaud
• Abelian Varieties — David Mumford

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Foire aux questions (FAQ)

Q : À quel public s'adresse ce livre ?

R : Cet ouvrage est destiné aux mathématiciens chercheurs et aux étudiants de troisième cycle en mathématiques, spécialisés en théorie des nombres, en géométrie arithmétique ou en algèbre. Il présuppose une solide connaissance de l'algèbre commutative, de la théorie de Galois et de la géométrie algébrique.

Q : Quels sont les principaux sujets abordés dans cet ouvrage ?

R : Le livre traite des théorèmes de dualité en cohomologie de Galois, en cohomologie étale et en cohomologie plate, pour les corps locaux et globaux. Il couvre également des résultats sur la dimension cohomologique, la finitude et les caractéristiques d'Euler-Poincaré.

Q : Quelle est la différence entre la première et la deuxième édition ?

R : La deuxième édition corrige plusieurs erreurs, améliore l'exposition et ajoute des notes de bas de page pour intégrer les développements survenus depuis 1986, notamment les travaux sur la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer et les modèles de Néron.

Q : Pourquoi ce livre est-il important pour la preuve du dernier théorème de Fermat ?

R : Les théorèmes de dualité arithmétique, qui sont au cœur de cet ouvrage, ont joué un rôle crucial dans la preuve du dernier théorème de Fermat par Andrew Wiles. Ils fournissent les outils cohomologiques nécessaires pour étudier les propriétés arithmétiques des courbes elliptiques et des formes modulaires.

Q : L'ISBN de cette deuxième édition est-il disponible ?

R : Oui, l'ISBN de la deuxième édition est le 9781419642746.

Q : Ce livre est-il disponible en version électronique ?

R : Oui, l'auteur a mis à disposition une version électronique de l'ouvrage sous licence Creative Commons pour un usage non commercial. Des addenda et errata sont également disponibles sur son site personnel.