Analyse convexe et problèmes variationnels - Études mathématiques

Détails du livre

Titre	Analyse convexe et problèmes variationnels
Auteur(s)	Ivar Ekeland, Roger Temam
Éditeur	Dunod / Gauthier-Villars
Année	1974
Langue	Français
Pages	340
ISBN	978-2-04-007368-8
Collection	Études mathématiques
Domaine	Analyse convexe, Calcul des variations, Optimisation mathématique
Taille	3 MB
Extension	PDF

Présentation de l'ouvrage

Publié en 1974 aux éditions Dunod / Gauthier-Villars dans la collection Études mathématiques, cet ouvrage d'Ivar Ekeland et Roger Temam est devenu, au fil des décennies, une référence absolue dans le domaine de l'analyse convexe et du calcul des variations. Sa parution en langue française à une époque où ces disciplines étaient en pleine effervescence — portées par les travaux de R. T. Rockafellar, Jacques-Louis Lions, Jean-Jacques Moreau et d'autres — lui a conféré un statut pionnier dans la diffusion de ces théories auprès de la communauté scientifique francophone et internationale. Traduit en anglais dès 1976 et réédité en 1999 par la SIAM dans la prestigieuse série Classics in Applied Mathematics sous le titre Convex Analysis and Variational Problems, l'ouvrage a été salué comme l'un des textes les plus importants de la littérature mathématique appliquée du XXe siècle. La formule citée dans les archives de référence est sans équivoque : aucun chercheur travaillant en dualité ne devrait se passer d'un exemplaire de cet ouvrage.

L'ouvrage est structuré en trois parties principales d'une complémentarité rigoureusement construite. La première partie, consacrée aux rappels d'analyse convexe, expose les fondements de la théorie : ensembles convexes, fonctions convexes et semi-continues inférieurement, sous-différentiels, dualité de Fenchel et conjuguées convexes, ainsi que les principaux théorèmes de séparation et de minimax dans des espaces vectoriels topologiques. La deuxième partie traite de la théorie de la dualité appliquée aux problèmes variationnels convexes : elle présente le cadre général de la dualité dans les problèmes de minimisation, les conditions d'optimalité, les points-selles et les multiplicateurs de Lagrange en dimension infinie. La troisième partie aborde la relaxation des problèmes variationnels non convexes — un sujet à l'époque très novateur — en montrant comment étendre la théorie de la dualité à des problèmes pour lesquels la convexité n'est pas satisfaite en recourant à l'enveloppe convexe des intégrandes.

L'un des apports les plus durables de cet ouvrage est la systématisation qu'il opère entre la dualité lagrangienne et la dualité de Fenchel pour les problèmes variationnels. En unifiant ces deux approches dans un cadre abstrait applicable aux espaces de Banach et aux espaces de fonctions, les auteurs ont fourni à la communauté mathématique un outil d'une portée considérable, qui a permis des avancées dans des domaines aussi divers que la mécanique des structures, la plasticité, la théorie des jeux, la théorie du contrôle optimal et l'économie mathématique. La bibliographie, qui occupe les huit dernières pages de l'ouvrage et couvre soigneusement les contributions les plus importantes du domaine jusqu'en 1974, constitue en elle-même une ressource documentaire précieuse pour comprendre l'état de l'art de la discipline à cette époque charnière. Les liens avec les travaux contemporains de Rockafellar, Moreau, Brézis et Lions sont explicitement signalés tout au long du texte.

Cet ouvrage s'adresse à un public de mathématiciens et de chercheurs en mathématiques appliquées ayant une solide formation d'analyse fonctionnelle. Il suppose en particulier la maîtrise des espaces de Banach et de Hilbert, des opérateurs linéaires continus, et des notions élémentaires de topologie des espaces vectoriels topologiques. Les étudiants de master avancé et de doctorat en analyse, en optimisation ou en équations aux dérivées partielles y trouveront une source théorique fondamentale pour leurs travaux. Les ingénieurs et physiciens mathématiciens qui souhaitent comprendre les fondements théoriques des méthodes variationnelles employées en mécanique des milieux continus ou en théorie du contrôle y trouveront également une exposition rigoureuse et autonome.

Cinquante ans après sa publication, cet ouvrage demeure incontournable dans toute bibliothèque mathématique sérieuse. Son influence sur le développement de l'analyse convexe, de la théorie du transport optimal, de la théorie des jeux différentiels et de la mécanique variationnelle est immense et continue de se faire sentir dans les travaux contemporains. Il est cité dans des milliers de publications scientifiques à travers le monde, ce qui en fait l'un des ouvrages mathématiques francophones les plus influents de la seconde moitié du XXe siècle. La réédition anglophone de 1999 par la SIAM, dans sa collection Classics in Applied Mathematics, confirme son statut de classique universel de la littérature mathématique.

Points forts de l'ouvrage

• Traité fondateur de l'analyse convexe et du calcul des variations en langue française, rédigé par deux mathématiciens de renommée mondiale au sommet de leur créativité.
• Structure en trois parties complémentaires articulant rappels d'analyse convexe, dualité pour les problèmes variationnels convexes et relaxation des problèmes non convexes.
• Exposition autonome et rigoureuse des fondements de l'analyse convexe en dimension infinie, incluant sous-différentiels, conjuguées de Fenchel et théorèmes de séparation dans les espaces topologiques.
• Unification originale de la dualité lagrangienne et de la dualité de Fenchel dans un cadre abstrait applicable aux espaces de Banach et aux espaces de fonctions.
• Traitement pionnier de la relaxation des problèmes variationnels non convexes, sujet novateur en 1974 et devenu central dans la mécanique variationnelle contemporaine.
• Présentation complète de la théorie des points-selles et des multiplicateurs de Lagrange en dimension infinie, fondement de la théorie moderne du contrôle optimal.
• Applications aux équations aux dérivées partielles d'évolution, à la plasticité et à la mécanique des milieux continus, illustrant la portée physique de la théorie abstraite.
• Bibliographie exhaustive de huit pages couvrant les contributions les plus importantes de la discipline jusqu'en 1974, constituant une ressource documentaire historique inestimable.
• Ouvrage traduit en anglais dès 1976 et réédité par la SIAM en 1999 dans la collection Classics in Applied Mathematics, confirmant son statut de classique universel.
• Influence directe sur des domaines contemporains aussi divers que la théorie du transport optimal, les jeux différentiels, l'économie mathématique et la vérification formelle.
• Ouvrage cité dans des milliers de publications scientifiques internationales, témoignant de son influence durable sur l'ensemble des mathématiques appliquées du XXe et du XXIe siècle.
• Liens explicites avec les travaux contemporains de Rockafellar, Moreau, Brézis et Lions, permettant au lecteur de situer précisément l'ouvrage dans l'histoire des mathématiques.

À propos des auteurs

Ivar Ekeland (né le 2 juillet 1944 à Paris) est un mathématicien français d'ascendance norvégienne. Il a étudié à l'École Normale Supérieure de 1963 à 1967. Il obtient son doctorat à l'Université de Paris (Sorbonne) en 1971. Il est chercheur au CNRS de 1967 à 1971, puis maître de conférences à l'Université Paris-Dauphine dès 1971, où il devient professeur titulaire à partir de 1980. Il occupe ensuite la Chaire de recherche du Canada en économie mathématique à l'Université de Colombie-Britannique de 2003 à 2011. Au cours de sa carrière, il a été président de l'Université Paris-Dauphine, directeur du CEREMADE et de l'Institut Finance Dauphine, ainsi que directeur du PIMS de 2003 à 2008. Ekeland est notamment connu pour le principe variationnel qui porte son nom et pour son utilisation du lemme de Shapley-Folkman en théorie de l'optimisation. Il a reçu des prix des Académies des sciences française et belge, de la Société mathématique de France, et des doctorats honoris causa des universités de British Columbia, de Saint-Pétersbourg et de Vienne. Il est le fondateur de la revue Annales de l'Institut Henri Poincaré — Analyse Nonlinéaire et rédacteur en chef de Mathematics and Financial Economics.

Roger Meyer Temam (né le 19 mai 1940 à Tunis) est un mathématicien français appliqué de réputation mondiale. Il obtient son doctorat (thèse d'État) à l'Université de Paris sous la direction de Jacques-Louis Lions en 1967. Il devient professeur à l'Université Paris-Sud à Orsay en 1968, où il cofonde le Laboratoire d'Analyse Numérique et Fonctionnelle qu'il dirige de 1972 à 1988. Il est également Professeur Émérite de Mathématiques travaillant dans les domaines de l'analyse numérique, des équations aux dérivées partielles non linéaires et de la mécanique des fluides. Il a publié plus de 400 articles et 12 ouvrages en tant qu'auteur ou coauteur. Selon le Mathematics Genealogy Project, Temam a supervisé 127 thèses de doctorat, ce qui constitue le second record mondial dans le domaine des mathématiques. Il est Professeur émérite à l'Université Paris-Sud et directeur de l'Institute for Scientific Computing and Applied Mathematics de l'Université de l'Indiana (États-Unis). Il est membre de l'Académie des sciences de Paris et lauréat du prix ISIMM (2016) pour l'ensemble de ses contributions aux mathématiques appliquées.

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• Direct Methods in the Calculus of Variations — Bernard Dacorogna
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• Topics in Nonlinear Functional Analysis — Louis Nirenberg

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Questions fréquentes

Q : Quelle est la relation entre cet ouvrage en français de 1974 et la version anglaise Convex Analysis and Variational Problems publiée par la SIAM ?

R : La version anglaise, parue initialement en 1976 chez North-Holland sous le même titre Convex Analysis and Variational Problems, est une traduction de l'édition française originale de 1974. Elle a été réimprimée en version corrigée en 1999 par la SIAM dans la série Classics in Applied Mathematics (volume 28), accompagnée d'une nouvelle préface des auteurs. Le contenu mathématique est identique, mais la réédition de 1999 bénéficie de corrections d'erreurs et d'une mise en page améliorée. La version française de 1974 présentée ici est donc l'édition originale fondatrice de cette ligne éditoriale.

Q : Quels prérequis mathématiques sont nécessaires pour lire cet ouvrage de façon profitable ?

R : La lecture de cet ouvrage suppose une maîtrise solide de l'analyse fonctionnelle de niveau master avancé : topologie des espaces vectoriels normés, espaces de Banach et de Hilbert, dualité dans les espaces fonctionnels, opérateurs linéaires continus et semi-continues inférieures. Une familiarité avec les notions élémentaires de convexité et d'optimisation est souhaitable, mais pas indispensable car la première partie de l'ouvrage expose ces bases de façon autonome. En revanche, la maîtrise des espaces de Sobolev et des EDP elliptiques est utile pour suivre les applications aux problèmes variationnels dans les espaces de fonctions.

Q : Quelle est l'originalité de la troisième partie sur la relaxation des problèmes variationnels non convexes ?

R : En 1974, la théorie de la relaxation des problèmes variationnels non convexes était un domaine encore largement en construction, et la présentation qu'en donnent Ekeland et Temam dans la troisième partie de l'ouvrage constituait une synthèse particulièrement novatrice. La relaxation consiste à remplacer un problème variationnel non convexe — qui peut ne pas admettre de solution — par un problème convexifié qui admet une solution et dont les minimiseurs sont la limite des suites minimisantes du problème original. Cette idée, développée notamment à travers la notion d'enveloppe convexe des intégrandes, est devenue centrale dans la mécanique variationnelle moderne et dans la théorie de l'homogénéisation.

Q : Comment cet ouvrage se distingue-t-il de la Convex Analysis de Rockafellar, publiée en 1970 ?

R : La Convex Analysis de Rockafellar (Princeton University Press, 1970) est une théorie exhaustive de l'analyse convexe en dimension finie, portant sur des fonctions définies sur des espaces euclidiens. Ekeland et Temam, au contraire, développent leur théorie directement en dimension infinie, dans des espaces de Banach, ce qui permet de traiter des problèmes de calcul des variations et d'EDP qui sont par nature des problèmes de dimension infinie. Les deux ouvrages sont complémentaires : Rockafellar fournit les fondements en dimension finie avec une exhaustivité remarquable, tandis qu'Ekeland-Temam développent les outils nécessaires aux applications aux fonctions et aux équations.

Q : Quels sont les domaines d'application concrets de la théorie développée dans cet ouvrage ?

R : La théorie de la dualité convexe et du calcul des variations développée dans cet ouvrage trouve des applications dans un spectre remarquablement large de disciplines. En mécanique des structures et des matériaux, elle est à la base des formulations variationnelles des problèmes d'élasticité, de plasticité et de rupture. En théorie du contrôle optimal, le principe du maximum de Pontryaguine s'interprète naturellement dans le cadre de la dualité de Fenchel. En économie mathématique, la théorie des prix-ombre et les conditions d'optimalité de Kuhn-Tucker en dimension infinie découlent directement des résultats développés dans cet ouvrage. Enfin, la théorie du transport optimal de Kantorovich — devenue centrale en mathématiques appliquées modernes — s'inscrit pleinement dans ce cadre théorique.

Q : Pourquoi les auteurs ont-ils choisi d'organiser l'ouvrage en commençant par des rappels d'analyse convexe, plutôt que de renvoyer le lecteur à d'autres références ?

R : Ce choix pédagogique reflète la conviction des auteurs que la théorie de la dualité pour les problèmes variationnels ne peut être exposée de manière cohérente et rigoureuse qu'en partant de fondements soigneusement établis dans un même cadre de notations et de conventions. En 1974, les références disponibles en analyse convexe en dimension infinie étaient encore peu nombreuses et dispersées dans la littérature de spécialité. En intégrant ces rappels dans l'ouvrage lui-même, Ekeland et Temam ont rendu leur traité véritablement autonome, accessible sans nécessiter de consultation parallèle d'autres textes, ce qui a considérablement facilité sa diffusion et explique en partie son succès durable.

Q : Existe-t-il des errata ou des corrections à cette édition française de 1974 ?

R : La réédition anglaise de 1999 par la SIAM (Classics in Applied Mathematics, vol. 28) constitue une version corrigée de la première édition anglaise de 1976, elle-même traduction de l'édition française de 1974. Les auteurs y ont incorporé les corrections d'erreurs identifiées au fil des années d'utilisation académique de l'ouvrage, et ont ajouté une nouvelle préface contextualisant les développements postérieurs de la discipline. La version française de 1974 doit donc être lue en ayant conscience que certaines formulations ont pu être affinées dans les éditions ultérieures, même si les erreurs signalées restent mineures au regard de la qualité globale de l'exposition.