Calcul formel : Mode d'emploi - Exemples en Maple

Détails du livre

Titre	Calcul formel : mode d'emploi — Exemples en Maple
Auteur(s)	Claude Gomez, Bruno Salvy, Paul Zimmermann
Éditeur	Elsevier Masson
Année	1995
Langue	Français
Pages	327
ISBN	978-2-225-84780-6
Collection	Logique, mathématiques, informatique
Domaine	Calcul formel, Informatique mathématique, Mathématiques appliquées
Taille	3 MB
Extension	PDF

Présentation de l'ouvrage

Publié en octobre 1995 aux éditions Elsevier Masson, cet ouvrage signé par trois chercheurs de l'INRIA — Claude Gomez et Bruno Salvy de Rocquencourt, Paul Zimmermann de Nancy — constitue l'une des références les plus solides de la littérature francophone sur le calcul formel. Au moment de sa parution, le calcul formel connaissait une expansion rapide grâce à la démocratisation de logiciels tels que Maple ou Mathematica, rendant accessibles à un large public des opérations jusqu'alors réservées aux spécialistes. L'ambition des auteurs est double : expliquer ce qu'est le calcul formel dans sa nature profonde, et montrer comment l'employer efficacement dans de nombreux domaines des mathématiques. Tous les exemples du livre sont traités sous Maple V.4, mais la démarche conceptuelle est présentée de manière suffisamment générale pour s'appliquer à n'importe quel système de calcul formel.

L'ouvrage couvre un spectre thématique particulièrement large, structuré autour des grandes familles de problèmes mathématiques que le calcul formel permet d'aborder. On y trouve une présentation des opérations fondamentales sur les polynômes et les fractions rationnelles, puis un développement progressif vers des domaines plus avancés : le calcul matriciel exact, l'intégration symbolique, la résolution d'équations différentielles, le développement en séries, et la factorisation d'entiers et de polynômes. Une place importante est accordée à la combinatoire et à l'analyse automatique d'algorithmes, domaine dans lequel plusieurs des auteurs ont contribué de manière significative à travers leurs propres recherches. Chaque chapitre articule l'exposition théorique avec des séquences de code Maple commentées, permettant au lecteur de comprendre non seulement comment utiliser le logiciel mais aussi pourquoi les algorithmes sous-jacents fonctionnent.

L'un des atouts pédagogiques majeurs de cet ouvrage est la présence de plus de 150 exercices répartis en fin de chapitre, dont les niveaux de difficulté sont variés. Certains exercices constituent de simples applications directes des notions présentées dans le texte, tandis que d'autres demandent une réflexion approfondie sur la structure même du calcul formel. Des solutions complètes ont été développées indépendamment par la communauté scientifique de l'INRIA et sont accessibles en ligne, ce qui fait de cet ouvrage un support d'apprentissage actif et vérifiable. La précision et la fiabilité des informations contenues dans cet ouvrage, soulignées par ses lecteurs académiques depuis sa parution, en font un outil de travail durable bien au-delà de la version de Maple sur laquelle il s'appuie.

Cet ouvrage s'adresse en priorité aux étudiants de second et troisième cycle en mathématiques et en informatique qui souhaitent acquérir une maîtrise opérationnelle du calcul formel. Il est également précieux pour les ingénieurs et les chercheurs confrontés à des calculs symboliques complexes dans leurs travaux professionnels, qu'il s'agisse de traitement du signal, de mécanique théorique, de cryptographie ou de modélisation mathématique. Le niveau requis correspond à une solide formation de premier cycle universitaire en mathématiques, sans prérequis spécifique en informatique. La progression didactique adoptée par les auteurs permet cependant à un lecteur motivé de progresser rapidement, même en partant d'une connaissance limitée du logiciel Maple.

Trente ans après sa parution, cet ouvrage conserve une pertinence indéniable. Si la version de Maple décrite est ancienne, les algorithmes présentés, les structures de raisonnement développées et les domaines mathématiques couverts restent pleinement d'actualité. Le livre a été unanimement salué comme l'un des meilleurs ouvrages francophones jamais publiés sur Maple et le calcul formel, et il a alimenté des générations d'enseignants et d'étudiants dans les universités françaises. Il reste régulièrement cité dans les bibliographies de cours de calcul formel et d'algorithmique symbolique, et des solutions complémentaires aux exercices continuent d'être proposées et discutées en ligne par la communauté académique.

Points forts de l'ouvrage

• Ouvrage rédigé par trois chercheurs INRIA spécialistes reconnus du calcul formel et de l'algorithmique symbolique.
• Approche double et cohérente : description de la nature mathématique du calcul formel et guide pratique d'utilisation de Maple V.4.
• Couverture thématique très large : polynômes, fractions rationnelles, calcul matriciel exact, intégration symbolique, équations différentielles, séries formelles, combinatoire et théorie des nombres.
• Applicabilité universelle : bien que les exemples soient en Maple, la démarche s'applique à tout système de calcul formel général.
• Plus de 150 exercices de niveaux variés, allant de la simple application à des problèmes demandant une réflexion algorithmique approfondie.
• Solutions aux exercices développées indépendamment et accessibles en ligne sur les serveurs de l'INRIA, permettant une autoévaluation complète.
• Présentation rigoureuse des algorithmes symboliques fondamentaux : division euclidienne, algorithme d'Euclide généralisé, résultants, factorisation sur différents corps.
• Chapitre dédié à l'analyse automatique d'algorithmes, domaine de recherche dans lequel les auteurs ont apporté des contributions originales.
• Traitement approfondi des développements en séries formelles et des méthodes asymptotiques, rarement abordés dans ce type d'ouvrage introductif.
• Séquences de code Maple intégralement commentées, permettant au lecteur de reproduire et d'adapter les calculs présentés.
• Informations précises et fiables, vérifiées par des experts de l'INRIA à travers leurs propres travaux de recherche.
• Introduction claire aux limites et aux pièges des systèmes de calcul formel, indispensable pour une utilisation critique et éclairée.
• Publication dans une collection universitaire de référence (Logique, mathématiques, informatique) garantissant le niveau académique de l'ouvrage.

À propos des auteurs

Claude Gomez et Bruno Salvy étaient tous deux chercheurs à l'INRIA de Rocquencourt au moment de la rédaction de cet ouvrage. Bruno Salvy est aujourd'hui directeur de recherche INRIA au sein de l'équipe-projet Pascaline, rattachée au Laboratoire de l'Informatique du Parallélisme (LIP) de l'ENS Lyon. Son domaine de recherche est le calcul formel, défini comme l'étude des mathématiques effectives et de leur complexité : quelle part des mathématiques peut être réalisée par un ordinateur, et avec quelle efficacité ? Il s'intéresse en particulier aux applications à l'analyse classique — fonctions spéciales, développements asymptotiques — et à la combinatoire analytique. Après plus de vingt ans au sein du projet Algorithmes à Rocquencourt, il a rejoint l'ENS Lyon. Il est l'auteur de plus de 180 publications scientifiques, citées plus de 5 000 fois, et co-auteur de logiciels de référence dans le domaine du calcul symbolique, notamment le package gfun pour Maple. Il a publié en 2017 une version livre des notes de son cours sur les algorithmes efficaces pour le calcul formel, disponible librement en ligne.

Paul Zimmermann, né le 13 novembre 1964, est un mathématicien informatique français, directeur de recherche à l'INRIA. Il a effectué ses études d'ingénieur à l'École Polytechnique (1984–1987), obtenu un master en informatique à l'Université Paris VII et un magistère de mathématiques et informatique à l'École Normale Supérieure en 1988, puis soutenu sa thèse de doctorat à l'École Polytechnique en 1991 sous la direction de Philippe Flajolet, sur les séries génératrices et l'analyse automatique d'algorithmes. Il a obtenu son Habilitation à Diriger des Recherches à l'Université Henri-Poincaré Nancy I en 2001. Chercheur à l'INRIA depuis 1991, promu directeur de recherche en 1998, il est basé au centre de Nancy depuis 1992 et rattaché au LORIA (Laboratoire Lorrain de Recherche en Informatique et ses Applications). Ses recherches portent sur l'arithmétique exacte à grande précision, la factorisation d'entiers et le calcul de logarithmes discrets. Il est co-auteur de l'ouvrage Modern Computer Arithmetic (avec Richard Brent, Cambridge University Press) et de Computational Mathematics with SageMath, utilisé par des étudiants en mathématiques du monde entier. Il a co-développé le logiciel MPFR, référence mondiale pour l'arithmétique flottante multi-précision correctement arrondie.

Livres similaires

• Initiation au calcul formel — Magali Bardet et Françoise Jung-Baudry
• Maple, guide du calcul scientifique — Vincent Kaftandjian
• Algorithmes efficaces en calcul formel — Alin Bostan, Frédéric Chyzak, Marc Giusti et al.
• Computational Mathematics with SageMath — Paul Zimmermann, Alexandre Casamayou et al.
• Modern Computer Arithmetic — Richard Brent et Paul Zimmermann
• Computer Algebra and Symbolic Computation: Mathematical Methods — Joel S. Cohen
• Concrete Mathematics — Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik
• Algorithms for Computer Algebra — Keith O. Geddes, Stephen R. Czapor, George Labahn

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Questions fréquentes

Q : Cet ouvrage est-il utilisable avec une version récente de Maple, ou avec un autre logiciel comme Mathematica ou SageMath ?

R : Les exemples de code sont écrits pour Maple V.4, une version ancienne, et certaines syntaxes peuvent nécessiter des adaptations mineures avec les versions modernes. Cependant, les auteurs ont conçu l'ouvrage pour qu'il soit applicable à n'importe quel système de calcul formel général : les concepts mathématiques sous-jacents, les algorithmes symboliques et les démarches de résolution sont tous présentés de manière indépendante du logiciel. Un lecteur travaillant sous Mathematica, SageMath ou tout autre système trouvera donc l'essentiel du contenu directement transposable. L'effort d'adaptation syntaxique est largement compensé par la richesse conceptuelle de l'exposition.

Q : Quels domaines mathématiques sont couverts dans cet ouvrage ?

R : L'ouvrage couvre un spectre très large, organisé autour des grandes familles de problèmes que le calcul formel permet de traiter. On y trouve notamment : les opérations sur les polynômes et les fractions rationnelles, le calcul matriciel exact, la factorisation d'entiers et de polynômes, l'intégration symbolique, la résolution d'équations différentielles, les développements en séries formelles, l'analyse asymptotique, et la combinatoire. Un chapitre est également consacré à l'analyse automatique de la complexité moyenne des algorithmes, thème original et avancé dans lequel les auteurs ont contribué personnellement par leurs recherches à l'INRIA.

Q : Quel niveau de difficulté représentent les exercices proposés dans cet ouvrage ?

R : L'ouvrage propose plus de 150 exercices dont les niveaux sont délibérément variés. Certains constituent de simples exercices d'application directe des notions exposées dans le texte, accessibles à tout étudiant ayant bien lu le chapitre correspondant. D'autres, en revanche, demandent une réflexion approfondie sur les mécanismes internes du calcul formel et peuvent constituer des sujets de travail de fond. Des solutions complètes, développées de manière indépendante par des chercheurs de l'INRIA, sont accessibles en ligne sur les serveurs Inria/Specfun, offrant ainsi au lecteur un retour détaillé sur sa compréhension.

Q : Quelle est la différence entre calcul formel et calcul numérique, et pourquoi cet ouvrage insiste-t-il sur cette distinction ?

R : Le calcul numérique manipule des approximations de valeurs réelles ou complexes, avec des erreurs d'arrondi inévitables. Le calcul formel, lui, opère sur des expressions mathématiques exactes — polynômes, fractions rationnelles, expressions symboliques — sans jamais introduire d'approximation. Cette distinction est fondamentale car elle change radicalement la nature des algorithmes à mettre en œuvre et les propriétés de fiabilité des résultats. L'ouvrage insiste sur cette différence dès son introduction et y revient régulièrement, notamment pour mettre en garde contre les erreurs d'interprétation que l'on peut commettre en utilisant un système de calcul formel sans comprendre ses fondements.

Q : Pourquoi cet ouvrage datant de 1995 reste-t-il pertinent aujourd'hui ?

R : La pertinence de cet ouvrage repose sur le fait que les algorithmes symboliques fondamentaux qu'il présente — algorithme d'Euclide généralisé, résultants, algorithme de Risch pour l'intégration, sommation hypergéométrique, etc. — n'ont pas vieilli : ce sont les mêmes qui sont implémentés dans toutes les versions modernes de Maple, Mathematica ou SageMath. Seule la syntaxe du code a évolué, pas la mathématique. De plus, la clarté de l'exposition et la richesse des exemples restent sans équivalent dans la littérature francophone. Enfin, la communauté académique continue de l'utiliser comme référence bibliographique dans les cours de calcul formel, ce qui témoigne de sa solidité scientifique durable.

Q : Cet ouvrage aborde-t-il les limites et les pièges du calcul formel ?

R : Oui, et c'est l'un de ses atouts les plus précieux. Les auteurs, qui sont des chercheurs professionnels et non de simples utilisateurs du logiciel, montrent avec précision dans quelles situations le calcul formel peut induire en erreur : simplifications fausses, résultats incomplets, problèmes de représentation des expressions, lenteur ou impossibilité de certains calculs. Cette approche critique est essentielle pour former des utilisateurs éclairés, capables d'employer le calcul formel comme un outil de rigueur plutôt que comme une boîte noire. Elle constitue une valeur ajoutée rare par rapport aux manuels purement applicatifs.

Q : Cet ouvrage est-il adapté à un cours universitaire de calcul formel ou d'algorithmique symbolique ?

R : Cet ouvrage est parfaitement adapté comme support de cours ou de travaux dirigés dans un cursus de licence avancée ou de master en mathématiques et informatique. Sa structure modulaire, organisée par domaine mathématique, permet à l'enseignant de choisir les chapitres les plus pertinents en fonction du public et des objectifs pédagogiques. La richesse des exercices et leur diversité de niveaux en font un outil de contrôle des connaissances particulièrement souple. Plusieurs enseignants de l'INRIA et de l'université française l'ont utilisé comme base de leurs cours de calcul formel pendant de nombreuses années après sa publication.