Problèmes d’analyse II : Continuité et dérivabilité

Détails du livre

Titre	Problèmes d'analyse II — Continuité et dérivabilité : Exercices corrigés
Auteurs	Wiesława J. Kaczor, Maria T. Nowak
Traducteur	Eric Kouris
Éditeur	EDP Sciences
Année	2008
Collection	Enseignement Sup
Langue	Français
Pages	389
ISBN	9782759803217
Domaine	Mathématiques, Analyse réelle
Taille	2 MB
Extension	PDF

Présentation de l'ouvrage Problèmes d'analyse II — Continuité et dérivabilité

Problèmes d'analyse II — Continuité et dérivabilité : Exercices corrigés est le deuxième volume d'une trilogie de recueils de problèmes d'analyse réelle rédigés par Wiesława J. Kaczor et Maria T. Nowak, professeures de mathématiques à l'université Marie Curie-Skłodowska de Lublin en Pologne, et traduits en français par Eric Kouris, agrégé de mathématiques. Publié chez EDP Sciences en 2008 dans la collection Enseignement Sup, cet ouvrage prolonge directement le Tome I consacré aux nombres réels, aux suites et aux séries numériques, et propose cette fois-ci un entraînement approfondi sur les thèmes centraux de l'analyse des fonctions réelles d'une variable réelle. Il s'agit d'une traduction autorisée d'un ouvrage initialement rédigé en polonais sous le titre Zadania z Analizy Matematycznej et publié en 1998 par l'université Marie Curie-Skłodowska, puis adapté en anglais par l'American Mathematical Society dans la série Student Mathematical Library sous le titre Problems in Mathematical Analysis II: Continuity and Differentiation. La traduction française a été confiée à Eric Kouris, qui a enrichi le texte de notes adaptées aux conventions pédagogiques de l'enseignement supérieur francophone.

Le contenu de ce deuxième tome s'organise en trois grandes parties thématiques qui couvrent les fondements essentiels de l'analyse des fonctions d'une variable réelle. La première partie est consacrée aux limites et à la continuité : propriétés des fonctions continues, théorèmes de Bolzano et de la valeur intermédiaire, continuité uniforme et prolongement par continuité. La deuxième partie, la plus volumineuse du recueil, traite de la dérivation dans toute sa richesse : définition et calcul des dérivées, règles de dérivation, théorème des accroissements finis et ses applications, formules de Taylor-Young, de Taylor-Lagrange et de Taylor-Peano, étude des fonctions à l'aide des dérivées, convexité et concavité. La troisième partie aborde les suites et séries de fonctions, en traitant la convergence simple et uniforme, les séries entières et leur rayon de convergence, les développements en série entière des fonctions usuelles et les propriétés de régularité des limites de suites de fonctions. Cette architecture thématique permet à l'étudiant de construire sa compréhension de manière logique et progressive.

La valeur pédagogique de cet ouvrage tient à la fois à la qualité de ses énoncés et à la complétude de ses corrections. Avec près de 600 problèmes entièrement résolus, le recueil offre un réservoir d'exercices considérable qui couvre tous les niveaux de difficulté, depuis les questions d'application directe des définitions et des théorèmes jusqu'aux problèmes avancés mobilisant plusieurs notions simultanément. Chaque section débute par des exercices relativement accessibles, permettant à l'étudiant de prendre confiance, avant de progresser vers des problèmes plus exigeants dont certains correspondent à des résultats classiques de l'analyse mathématique. Les solutions sont rédigées avec suffisamment de détail pour permettre une lecture autonome, tout en invitant l'étudiant à produire lui-même une rédaction complète plutôt que de se contenter de vérifier le résultat. Plusieurs aspects d'un même thème sont souvent développés dans des séries d'exercices successifs, permettant d'en construire une compréhension en profondeur plutôt que superficielle.

Le public auquel s'adresse ce volume est précisément défini et correspond à plusieurs niveaux du système universitaire français. Il est destiné en priorité aux étudiants de L1, L2 et L3 de mathématiques à l'université, pour lesquels les thèmes de la continuité et de la dérivation constituent le cœur des programmes d'analyse du premier cycle. Les élèves des classes préparatoires aux grandes écoles scientifiques (MPSI, PCSI, MP, PC) y trouveront un entraînement particulièrement dense sur des sujets figurant au cœur de leurs concours. Les candidats au CAPES de mathématiques et à l'agrégation de mathématiques, pour qui la maîtrise fine de la dérivation, des formules de Taylor et des séries de fonctions est indispensable, disposent avec ce recueil d'un outil de révision et d'approfondissement de premier ordre. Le niveau requis pour aborder cet ouvrage correspond à une maîtrise des fondamentaux de l'analyse réelle acquis lors du premier semestre universitaire ou en MPSI, notamment les notions de limite, de continuité élémentaire et de dérivée.

Cet ouvrage s'inscrit dans le prolongement direct du Tome I de la même série, et il est lui-même suivi du Tome III consacré à l'intégration. Ensemble, les trois volumes forment un cursus d'entraînement complet en analyse réelle du niveau Licence au niveau Master, couvrant l'ensemble des thèmes fondamentaux du programme. La collection Enseignement Sup d'EDP Sciences, reconnue dans la communauté mathématique francophone pour la qualité de ses ouvrages, confère à ce recueil une légitimité éditoriale solide. La présence de la table de renvois entre les trois volumes et d'un index thématique facilitent une consultation ciblée et permettent à l'étudiant de naviguer entre les différentes notions de manière transversale. Pour les mathématiciens francophones cherchant un recueil d'exercices corrigés dense, rigoureux et progressif sur la continuité et la dérivabilité, cet ouvrage demeure l'une des références les plus complètes disponibles.

Points forts de l'ouvrage

• Contient près de 600 problèmes entièrement corrigés sur les fonctions continues, les fonctions dérivables et les séries de fonctions.
• S'organise en trois parties thématiques : limites et continuité, dérivation, suites et séries de fonctions, pour une progression logique et cohérente.
• Propose un traitement approfondi du théorème des accroissements finis, de ses corollaires et de ses nombreuses applications.
• Développe les formules de Taylor — de Young, de Lagrange et de Peano — à travers une variété d'exercices progressifs et illustratifs.
• Aborde les séries entières avec leurs propriétés de convergence, leur rayon de convergence et les développements en série des fonctions usuelles.
• Traite la convergence simple et uniforme des suites et séries de fonctions ainsi que leurs propriétés de régularité.
• Offre une gradation précise des difficultés dans chaque section, des exercices d'application directe aux problèmes correspondant à des théorèmes classiques.
• Fournit des solutions rédigées en détail permettant un travail totalement autonome, tout en encourageant la rédaction personnelle de chaque résolution.
• Inclut un index thématique et une table de renvois entre les trois volumes pour faciliter la navigation et les recherches ciblées.
• Constitue le deuxième volume d'une trilogie cohérente couvrant l'analyse réelle du niveau Licence au niveau Master avec les Tomes I et III.
• Enrichi par Eric Kouris de notes terminologiques adaptées aux conventions de l'enseignement supérieur mathématique francophone.
• Traduit d'une série publiée par l'American Mathematical Society, garantissant un niveau d'exigence scientifique international reconnu.
• Appartient à la collection Enseignement Sup d'EDP Sciences, référence de qualité dans l'édition mathématique universitaire francophone.

À propos des auteurs

Wiesława J. Kaczor (née en 1949) est mathématicienne et professeure à l'université Marie Curie-Skłodowska (UMCS) de Lublin, en Pologne, où elle a mené l'essentiel de sa carrière académique. Elle a soutenu ses travaux doctoraux sous la direction de Kazimierz Goebel, l'un des spécialistes mondiaux de la théorie des points fixes, domaine dans lequel elle a également conduit ses recherches. Maria T. Nowak (née en 1951) est également professeure de mathématiques à l'UMCS de Lublin, spécialisée en analyse complexe et en espaces de fonctions analytiques. Ensemble, les deux auteurs ont développé la série Problèmes d'analyse à partir de leur longue pratique de l'enseignement à l'université, d'abord publiée en polonais en 1998 par les presses universitaires de Lublin, puis traduite en anglais par l'American Mathematical Society dans la collection Student Mathematical Library (trois volumes parus entre 2000 et 2003). Cette collection internationale a connu un succès considérable avant d'être traduite en français par Eric Kouris pour EDP Sciences en 2008.

Eric Kouris, agrégé de mathématiques, a assuré la traduction de l'ensemble des trois volumes français de la série. Son travail de traducteur s'est accompagné d'un travail d'adaptation pédagogique soigné, consistant à préciser certaines définitions et à introduire des renvois nominatifs vers des résultats portant un nom, afin de garantir la cohérence terminologique avec les standards de l'enseignement supérieur et des concours de mathématiques en France. La collection a été dirigée par Daniel Guin, mathématicien reconnu dans le domaine de l'édition mathématique universitaire francophone. Des informations biographiques complémentaires sur Eric Kouris ne sont pas disponibles dans les sources consultées.

Livres similaires

• Problèmes d'analyse — Tome I : Nombres réels, suites et séries — Wiesława J. Kaczor, Maria T. Nowak
• Problèmes d'analyse — Tome III : Intégration — Wiesława J. Kaczor, Maria T. Nowak
• Exercices d'analyse — Tome 2 — Claude Wagschal
• Analyse, Tome 2 — Jean-Marie Monier
• Problems in Mathematical Analysis II: Continuity and Differentiation — W. J. Kaczor, M. T. Nowak (AMS, édition originale anglaise)
• Calcul différentiel et intégral — Nikolaï Piskunov
• Analyse réelle et complexe — Walter Rudin
• Principles of Mathematical Analysis — Walter Rudin

Ads

Télécharger PDF Aperçu du livre

Questions fréquentes

Q : Quels sont les trois grands thèmes structurant ce deuxième volume de Problèmes d'analyse ?

R : L'ouvrage est organisé en trois parties thématiques distinctes et progressives. La première couvre les limites et la continuité, incluant les propriétés fondamentales des fonctions continues, la continuité uniforme, le théorème de la valeur intermédiaire et les prolongements par continuité. La deuxième partie — la plus développée — traite de la dérivation : règles de calcul, théorème des accroissements finis, formules de Taylor sous leurs différentes formes, convexité et application des dérivées à l'étude des fonctions. La troisième partie aborde les suites et séries de fonctions, incluant la convergence uniforme, les séries entières, leur rayon de convergence et les développements en série des fonctions classiques.

Q : Comment ce Tome II s'articule-t-il avec le Tome I et le Tome III de la même série ?

R : Les trois volumes forment un ensemble cohérent et complémentaire couvrant les bases de l'analyse réelle en intégralité : le Tome I traite les nombres réels, les suites et les séries numériques ; le Tome II couvre la continuité et la dérivation des fonctions d'une variable réelle ; le Tome III est consacré à l'intégration. Chaque volume peut être utilisé de façon autonome, mais les trois ensemble constituent un cursus d'entraînement systématique de l'analyse réelle couvrant l'ensemble du programme des deux premiers cycles universitaires. Une table de correspondance entre les problèmes des trois tomes est incluse dans chaque volume, permettant d'identifier les liens thématiques entre les exercices.

Q : Le théorème des accroissements finis et les formules de Taylor font-ils l'objet d'un traitement particulièrement développé dans ce volume ?

R : Oui, ces deux résultats fondamentaux de l'analyse différentielle constituent le cœur de la deuxième partie du recueil et font l'objet d'une série d'exercices particulièrement variée et progressives. Le théorème des accroissements finis est abordé sous ses différentes formes — Lagrange, Cauchy — avec ses applications à l'étude monotonie, aux inégalités et aux approximations. Les formules de Taylor sont présentées dans leurs trois versions classiques — Taylor-Young, Taylor-Lagrange et Taylor-Peano — avec des exercices consacrés à leur usage pour les développements limités, le calcul de limites et la comparaison de fonctions. Cette richesse d'exercices fait de ce chapitre une ressource incontournable pour la préparation aux concours et examens d'analyse.

Q : Comment les séries entières et les séries de fonctions sont-elles abordées dans cet ouvrage ?

R : La troisième partie du recueil commence par établir les fondements de la convergence des suites de fonctions, distinguant convergence simple et convergence uniforme, et en examinant les conséquences de chacune sur la continuité, la dérivabilité et l'intégrabilité des fonctions limites. Les séries entières sont ensuite traitées à travers des exercices portant sur le calcul du rayon de convergence, les propriétés des sommes dans le disque ouvert de convergence, et les développements en série entière des fonctions transcendantes classiques. Cette troisième partie constitue un pont naturel avec le Tome III consacré à l'intégration et aux séries de Fourier, et représente un niveau de difficulté légèrement supérieur aux deux premières parties du recueil.

Q : Cet ouvrage est-il adapté à la préparation du CAPES et de l'agrégation de mathématiques ?

R : Oui, cet ouvrage est explicitement conçu pour être utile aux candidats au CAPES et à l'agrégation de mathématiques. Les thèmes abordés — continuité, dérivabilité, théorème des accroissements finis, formules de Taylor et séries de fonctions — sont au programme de nombreuses leçons exigées aux deux concours, tant à l'écrit qu'à l'oral. La variété et la densité des exercices permettent d'acquérir la maîtrise technique et la rapidité d'exécution indispensables en situation de concours. Il est recommandé de l'utiliser en complément d'un cours complet d'analyse et d'un ouvrage de leçons pour couvrir toutes les dimensions de la préparation.

Q : Pourquoi ce livre a-t-il été traduit du polonais vers le français en passant par une version anglaise ?

R : L'ouvrage original a été rédigé en polonais par Kaczor et Nowak à l'université Marie Curie-Skłodowska de Lublin et publié par les presses universitaires de cette institution en 1998. Sa qualité scientifique a conduit l'American Mathematical Society à le traduire en anglais et à le publier dans sa série Student Mathematical Library (Vol. 12) en 2001, lui donnant une diffusion internationale. EDP Sciences a ensuite obtenu l'autorisation de l'AMS pour en produire une traduction française destinée au marché universitaire francophone, confiée à Eric Kouris, qui a adapté les conventions terminologiques aux usages français. Ce parcours éditorial exceptionnel témoigne de la qualité et de l'utilité reconnues de l'ouvrage à l'échelle internationale.

Q : La gradation en difficulté des exercices est-elle réellement respectée au fil des sections ?

R : Oui, la gradation progressive est l'un des principes organisateurs fondamentaux de cet ouvrage, respecté systématiquement dans chaque section. Les auteurs débutent chaque thème par des exercices d'application directe des définitions et propriétés, permettant à l'étudiant de consolider les bases avant d'aborder des problèmes plus complexes. Les exercices les plus difficiles, situés en fin de section, correspondent souvent à des résultats classiques de l'analyse — des théorèmes connus — que le lecteur est invité à redémontrer de façon guidée, transformant ainsi chaque correction en une opportunité de découverte mathématique. Cette progression évite à l'étudiant le découragement d'une difficulté d'emblée trop élevée tout en lui permettant de dépasser son niveau initial grâce à un entraînement régulier et méthodique.

Q : Quel niveau de maîtrise mathématique préalable est nécessaire pour aborder ce Tome II ?

R : Ce recueil suppose que le lecteur dispose déjà d'une base solide en raisonnement mathématique formel — maîtrise des quantificateurs, démonstrations par l'absurde et par récurrence — ainsi que des notions fondamentales d'analyse présentées au premier semestre universitaire ou en MPSI : limite de suite, notion de convergence, définition élémentaire de la continuité et de la dérivée. La maîtrise préalable du Tome I n'est pas strictement indispensable, mais elle est fortement recommandée pour les étudiants dont les bases en suites et séries ne sont pas encore parfaitement consolidées. Les outils mathématiques mobilisés relèvent de l'algèbre et du calcul de niveau Terminale et première année de Licence, sans nécessiter la connaissance du calcul intégral ou de la topologie générale.