Géométrie : Cours de mathématiques - Première et deuxième année

Géométrie : Cours de mathématiques - Première et deuxième année

Auteur(s)	Arnaud Bodin, Exo7
Contributeurs	Léa Blanc-Centi, Niels Borne, Benjamin Boutin, Laura Desideri, Pascal Romon
Éditeur	CreateSpace Independent Publishing Platform
Année	2016
Collection	Prépas Scientifiques
Langue	Français
Pages	154
ISBN	Unknown
Taille	3.87 MB
Extension	PDF

Résumé du livre Géométrie : Cours de mathématiques

L'ouvrage Géométrie : Cours de mathématiques - Première et deuxième année, coordonné par Arnaud Bodin dans le cadre du projet Exo7, constitue un recueil de chapitres de géométrie spécialement conçu pour les étudiants des deux premières années de l'enseignement supérieur en mathématiques. Contrairement aux manuels classiques qui se contentent de présenter la géométrie euclidienne traditionnelle, ce livre fait le choix audacieux de rassembler des thématiques variées et fascinantes, allant des constructions à la règle et au compas jusqu'aux applications modernes comme les mathématiques du GPS. L'objectif est double : fournir un socle théorique rigoureux tout en montrant la beauté et l'utilité pratique de la géométrie dans le monde contemporain.

Le premier chapitre est consacré à la règle et au compas, un thème fondamental qui remonte aux mathématiques grecques antiques. Les étudiants y découvrent les constructions géométriques classiques, les trois grands problèmes grecs (la duplication du cube, la trisection de l'angle et la quadrature du cercle), ainsi que la théorie des nombres constructibles. Le cours introduit progressivement les éléments de théorie des corps nécessaires pour démontrer l'impossibilité de ces constructions célèbres, offrant ainsi une passerelle naturelle entre géométrie et algèbre abstraite.

Le deuxième chapitre explore l'inversion, une transformation géométrique puissante qui établit des liens entre cercles et droites. Les notions d'homographies, de dispositifs mécaniques liés à l'inversion et la construction au compas seul y sont développées avec rigueur. Ce chapitre permet aux étudiants de développer une intuition géométrique profonde et de maîtriser des outils de transformation qui s'avèrent essentiels dans de nombreuses branches des mathématiques.

Le troisième chapitre traite de la chaînette, cette courbe élégante que forme une corde suspendue entre deux points sous l'effet de la gravité. L'étude du cosinus hyperbolique, la dérivation de l'équation de la chaînette et le calcul de sa longueur fournissent un terrain d'application idéal pour les techniques d'analyse rencontrées en première année. Ce chapitre illustre parfaitement comment la géométrie et l'analyse se rejoignent pour modéliser des phénomènes physiques concrets.

Le quatrième chapitre, consacré aux systèmes itérés de fonctions, ouvre la porte au monde fascinant des fractales. Les étudiants y abordent la topologie de base dans le plan, les notions d'attracteurs, les isométries et similitudes, les transformations affines, la dimension de Hausdorff et le théorème du collage. Ce chapitre, plus avancé, constitue une excellente introduction à la géométrie fractale et offre de nombreux exemples visuels et calculatoires stimulants.

Enfin, le cinquième chapitre propose une étude des mathématiques du GPS, illustrant de manière contemporaine comment la géométrie, la notion de temps, de vitesse et les systèmes de coordonnées interviennent dans le fonctionnement de ce système de positionnement global. Ce chapitre commence par un problème ludique — l'île aux sept phares — avant de plonger dans les aspects mathématiques du repérage par satellites, y compris les calculs de position approchée.

Chaque chapitre est accompagné d'exercices permettant aux étudiants de s'entraîner et de consolider les concepts présentés. Ce livre s'adresse principalement aux étudiants de licence scientifique (L1-L2), aux élèves de classes préparatoires scientifiques (Math Sup / Math Spé) et à toute personne souhaitant découvrir des aspects variés et peu conventionnels de la géométrie. Il est également recommandé aux enseignants du supérieur comme support de cours complémentaire. Le niveau requis correspond aux prérequis de première et deuxième année universitaire en mathématiques.

Caractéristiques principales

• Cours complet couvrant cinq thématiques géométriques originales de niveau L1-L2 et classes préparatoires
• Étude approfondie des constructions à la règle et au compas, incluant les trois problèmes grecs classiques et la théorie des nombres constructibles
• Chapitre dédié à l'inversion géométrique, aux homographies et aux constructions au compas seul
• Présentation rigoureuse de la chaînette avec application du cosinus hyperbolique et calcul de longueur d'arc
• Introduction aux systèmes itérés de fonctions et à la géométrie fractale, incluant la dimension de Hausdorff
• Chapitre moderne sur les mathématiques du GPS, reliant géométrie, physique et applications technologiques
• Exercices corrigés à la fin de chaque chapitre pour un apprentissage autonome
• Issu du projet Exo7, une référence reconnue en mathématiques pour l'enseignement supérieur français
• Complémentaire aux ressources en ligne Exo7 : vidéos de cours, exercices supplémentaires et fichiers LaTeX
• Approche pédagogique alliant rigueur mathématique, exemples détaillés et illustrations
• Passerelles entre géométrie, algèbre, analyse et topologie, favorisant une vision transversale des mathématiques
• Disponible gratuitement en PDF, fidèle à la philosophie de libre diffusion du projet Exo7

À propos de l'auteur

Arnaud Bodin, né en 1974, est enseignant-chercheur en mathématiques à l'Université de Lille, au sein du prestigieux Laboratoire Paul Painlevé (UMR CNRS 8524). Il est titulaire d'un doctorat en mathématiques obtenu à l'Université Toulouse 3 en 2000, puis d'une Habilitation à Diriger des Recherches (HDR) en sciences mathématiques à l'Université Lille 1 en 2008. Il occupe le poste de Maître de Conférences HDR et est membre de la composante « Géométrie et Topologie » de son laboratoire.

Son domaine de recherche porte sur la théorie des singularités ainsi que l'étude topologique et arithmétique des polynômes de plusieurs variables. Ses travaux ont donné lieu à de nombreuses publications dans des revues internationales de premier plan, parmi lesquelles les Proceedings of the American Mathematical Society, Mathematische Zeitschrift, l'Israel Journal of Mathematics et The American Mathematical Monthly. Son profil de recherche recense plus de cinquante articles scientifiques.

Au-delà de ses activités de recherche, Arnaud Bodin est le coordinateur et fondateur du projet Exo7, devenu une référence incontournable pour les étudiants francophones en licence et en classes préparatoires. Exo7 est un site proposant des cours, des exercices corrigés et des vidéos de mathématiques, soutenu financièrement par l'Université de Lille et Unisciel, et hébergé par la SMAI et la SMF. L'équipe Exo7 est composée de plusieurs enseignants-chercheurs, dont Léa Blanc-Centi, Niels Borne, Benjamin Boutin, Laura Desideri, Damien Mégy, Maxime Nguyen et Pascal Romon. Arnaud Bodin a également piloté la création de MOOCs, notamment le MOOC « Arithmétique : en route pour la cryptographie » sur la plateforme FUN. Il est l'auteur principal de nombreux ouvrages publiés sous la bannière Exo7, couvrant l'algèbre, l'analyse, Python, Scratch, l'informatique quantique (Quantum), le deep learning (Deepmath) et les mathématiques pour les jeux vidéo (MathGame).

Livres similaires

• Algèbre : Cours de mathématiques - Première année — Exo7, Arnaud Bodin
• Analyse : Cours de mathématiques - Première année — Exo7, Arnaud Bodin
• Géométrie (cours de Marcel Berger) — Marcel Berger
• Géométrie affine, projective et euclidienne — Daniel Lehmann, Rudolf Bkouche
• Exercices de géométrie — Francinou, Gianella, Nicolas
• Géométrie et Topologie — Jean-Claude Pont
• Leçons de géométrie — Jacques Hadamard

Ads

Télécharger (PDF, 3.87 MB) Lire en ligne

Questions fréquentes sur Géométrie : Cours de mathématiques

Q : Quels sont les prérequis nécessaires pour aborder ce livre de géométrie ?

R : Ce livre requiert les connaissances de base en mathématiques acquises au lycée (terminale scientifique). Certains chapitres comme les systèmes itérés de fonctions ou les mathématiques du GPS mobilisent des notions de première année universitaire en analyse et en algèbre. Une familiarité avec les concepts de fonctions, de dérivation et d'algèbre linéaire élémentaire est recommandée.

Q : Quel est le lien entre ce livre et le site Exo7 ?

R : Ce livre est issu du projet Exo7, un site de référence proposant des cours, exercices corrigés et vidéos de mathématiques pour les étudiants de licence et de classes préparatoires. Le livre se complète par les ressources gratuites disponibles en ligne sur le site Exo7, notamment des vidéos explicatives et des exercices supplémentaires.

Q : Ce livre contient-il des exercices corrigés ?

R : Oui, chaque chapitre se termine par une section d'exercices permettant de mettre en pratique les notions théoriques présentées. Les corrections complémentaires peuvent être trouvées sur le site Exo7, qui propose un vaste répertoire d'exercices corrigés classés par thème et par niveau.

Q : En quoi le chapitre sur les mathématiques du GPS est-il pertinent pour des étudiants en mathématiques pures ?

R : Ce chapitre illustre comment des concepts géométriques fondamentaux — systèmes de coordonnées, distance, triangulation — trouvent une application directe dans une technologie quotidienne. Il mobilise des notions de géométrie dans l'espace, de systèmes de coordonnées sphériques et de résolution de systèmes non linéaires, ce qui en fait un excellent terrain d'application pour les étudiants en mathématiques.

Q : Ce livre est-il adapté aux élèves de classes préparatoires scientifiques (CPGE) ?

R : Oui, la collection est explicitement rattachée aux Prépas Scientifiques. Les thèmes abordés enrichissent le programme officiel en proposant des sujets complémentaires comme les constructions géométriques, l'inversion ou les fractales, qui développent l'intuition géométrique et la capacité de raisonnement attendues en CPGE.

Q : Quelle est la différence entre ce volume « Géométrie » et les volumes « Algèbre » et « Analyse » du même projet Exo7 ?

R : Les volumes Algèbre et Analyse couvrent l'intégralité du programme standard de première année universitaire dans ces deux disciplines. Le volume Géométrie adopte une approche différente : il rassemble des chapitres thématiques originaux qui couvrent les deux premières années et qui ne constituent pas un cours linéaire complet, mais plutôt un recueil de sujets géométriques complémentaires aux deux autres tomes.

Q : Qu'est-ce que la dimension de Hausdorff abordée dans le chapitre sur les systèmes itérés de fonctions ?

R : La dimension de Hausdorff est une notion mathématique qui généralise la dimension classique (un point a dimension 0, une courbe dimension 1, une surface dimension 2). Elle permet de mesurer la complexité géométrique d'objets fractals dont la dimension n'est pas un nombre entier. Ce chapitre en présente les fondements théoriques et en illustre le calcul sur des exemples concrets de fractales générées par des systèmes itérés de fonctions.